最大公约数与最小公倍数

作者:最大公约数与最小公倍数 来源:未知 2021-10-13 22:22   阅读:

中级奥数教程最大公约数与最小公倍数【知识要点和基本方法】1、整数a能被整数b(不为零)整除,数a就是b的倍数,数b就是a的约数。2、几个数公有的约

中级奥数教程

最大公约数与最小公倍数

【知识要点和基本方法】

1、整数a能被整数b(不为零)整除,数a就是b的倍数,数b就是a的约数。

2、几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数,公约数的个数是有限的,其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

若自然数a1,a2,a3,……. an,最大公约数是d,则可记为:(a1,a2,a3,……. an)=d

3、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,公倍数可以有无限多个,但其中有最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 若自然数a1,a2,a3,……. an,的最小公倍数是m,则可记为:[a1,a2,a3,……. an]=m

4、最大公约数的性质

(1)两个数的最大公约数的约数,都是这两个数的公约数,即:如果(a,b)=d,c︱d,那么c︱a,c︱b

(2)两个数分别除以它们的最大公约数,所得的商一定是互质数,即:如果(a,b)=d,那么(a÷d),(b÷d)=1

5、最小公倍数的性质

(1)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,且最小公倍数是最大公约数的倍数,即:

如果(a,b)=d,[a,b]=m,那么,dm=ab,且d︱m。

(2)如果一个数c能同时被两个自然数a,b整除,那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除,或者说,一些数的公倍数一定是这些

的最小公倍数的倍数,即:若[a1,a2,a3,……. a]=m,而a1︱N,a2︱N,……an,那么m︱N。

6、有两点需要同学们特别注意:

(1)数a是数b的倍数,数b就是数a的约数,它们的最大公约数是b,最小公倍数a;

(2)如果两个数互质,它们的最大公约数是1,最小公倍数是它们的积,

7、求最大公约数常见的方法有:

(1)列举法;(2)分解质因数;(3)短除法;(4)辗转相除法。

8、求最小公倍数常见的方法有:

(1)列举法;(2)分解质因数法;(3)短除法;(4)最大公约数法(互相求)。

上述各种方法详见例题,更多应当注意的是“用共同的方法求最大公约数和最小公倍数的区别”,尤其要注意使用短除法。

9、最大公约数和最小公倍数之间的关系:

设a,b为两个自然数,则(a,b)和[a,b]有如下关系:ab=(a,b)×[a,b]或 [a,b]=ab/(a,b)

【例题精讲】

(一)列举法:适用于数比较小的问题

例1 (1)求28和70的最大公约数;(2)求12和18的最小公倍数

解(1)28的约数有:1、2、4、7、14、28;

70的约数有;1、2、5、7、10、14、35、70。

因此,28与70的公约数有:1、2、7、14,其中最大的公约数为14,所以,(28,70)=14

(2)12的倍数有:12、24、36、48、60、72,……

18 的倍数有36、72,…….,36是最小的公倍数

所以,[12,18]=36

(二)因式分解法:适用于数比较大的问题

现在以三个数为例来说明因式分解法求最大公约数和最小公倍数的求法,设自然数a,b,c的标准分解式为

a1a2

。。。。。。。。。。。。。。。,,,aka=p 1 · p 2·

β1β2·p k (p1<p2<…..< pk,αi≥0,i=1,2, ..,k), βk

b=p 1 · p 2·

γ1γ2。。。。。。。。。。。。。。。。,·p k (p1<p2<…..< pk, βi≥0,i=1,2, ..,k), γk

c=p 1 · p 2·。。。。。。。。。。。。。。。。,,·p k (p1<p2<…..< pk, γi≥0,i=1,2, ..,k),

a2aka1则 (a,b,c)=p1 ·p 2· ·p k ,

其中αi=min{αi ,βi ,γi }(i=1,2, ,k);

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